每日一题[2089]张角

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)上两点 $A,B$ 与坐标原点 $O$ 构成正三角形,且这样的正三角形有 $4$ 个,则该双曲线的离心率的范围是_______.

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每日一题[2086]极限探路

给定正整数 $n\geqslant 3$.求最大的实数 $M$,使得\[\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{a_k}{a_k+a_{k+1}}\right)^2\geqslant M\]对于任意正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 恒成立,其中 $a_{n+1}=a_1$.

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每日一题[2084]齐次

给定正实数 $0<a<b$,设 $x_1,x_2,x_3,x_4\in [a,b]$,试求 $\dfrac{\dfrac{x_1^2}{x_2}+\dfrac{x_2^2}{x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_4}+\dfrac{x_4^2}{x_1}}{x_1+x_2+x_3+x_4}$ 的最小值与最大值.

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